A Mathematician and His Mathematical Work: Selected Papers by Chern S.S., Li P., Cheng S.Y., Tian G. (eds.)

By Chern S.S., Li P., Cheng S.Y., Tian G. (eds.)

Those chosen papers of S.S. Chern speak about issues akin to crucial geometry in Klein areas, a theorem on orientable surfaces in 4-dimensional house, and transgression in linked bundles

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Dann ist X zusammenhängend. 5 – Graziös Beweisen Sie, dass für alle X Â R und alle f W X ! R folgende Aussagen äquivalent sind. (I) Die Menge X ist ein Intervall und f ist stetig. (G) Der Graph von f ist sowohl zusammenhängend als auch lokal zusammenhängend (siehe Ergänzung). 2 Trennung und stetige Fortsetzbarkeit Trennungseigenschaften sichern die Existenz genügend vieler offener Mengen, um gewisse Teilmengen des Raumes voneinander zu trennen. In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass sie auch die Existenz bestimmter stetiger reellwertiger Funktionen liefern, die an verschiedenen Stellen in der Mathematik zum Einsatz kommen.

Seien nun X und Y zusammenhängend. 1 Zusammenhang Abb. x; y/. Es reicht also zu zeigen, dass diese ganz X Y ist. u; v/ irgendein Punkt des Produktes (Abb. 2). u; v/ enthält. x; v/, ist also nicht leer. x; y/. Ergänzung Lokal zusammenhängend Ein topologischer Raum X heißt lokal zusammenhängend, falls jede Umgebung eines Punktes noch eine zusammenhängende umfasst. Zum Beispiel ist R n 0 lokal zusammenhängend, aber nicht zusammenhängend. 1=x// 2 R2 j x > 0 g R2 ist zusammenhängend, aber nicht lokal zusammenhängend (Abb.

Definition Das kartesische Produkt Q i 2I Xi von Mengen Xi ist die Menge aller I -Tupel . xi j i 2 I / mit xi 2 Xi . Die von allen Projektionen prj W Y Xi ! Xj I . xi j i 2 I / 7! xj i 2I induzierte Topologie auf dem kartesischen Produkt heißt Produkttopologie. Q Beispiel Ein Element im Produkt Œ0;1 R von Kopien der reellen Zahlen über der Indexmenge I D Œ0; 1 entspricht einer beliebigen Funktion auf dem Einheitsintervall f W Œ0; 1 ! RI x 7! fx : Die Projektionen prx wenden dann f auf die Zahl x an.

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